第1127章 霍奇猜想的新思路

大概是在年初那會兒,陸舟還沒有將陳陽從燕大數學中心挖來的時候,這位陳教授便在研究霍奇猜想了。

陸舟還記得,當時他在黑板上研究自己的超橢圓曲線分析法,並且用了一種非常巧妙的方法,將這個原本爲準黎曼猜想設計的數學工具,改進之後直接運用在了對非奇異復代數簇的代數拓撲,以及其定義子簇的多項式方程所表述的幾何關聯問題的研究上。

當初也正是因爲這一手漂亮的操作,讓陸舟不禁動了愛才之心,將他從燕大數學中心挖到了金陵這邊來。

現在已經過去快一年了,關於霍奇猜想的課題仍然沒有絲毫的進展,再加上前段時間一直在忙代數幾何統一理論的事情,以至於陸舟都快把這件事給忘了。

“走,去我辦公室說。”

帶着陳陽來到了自己的辦公室,陸舟親自去牆角幫他拖來了一張白板,並且將自己的記號筆遞到了他的手上。

沒有將時間浪費在客套上,接過了筆之後,站在白板前的陳陽思索了片刻,首先在白板上隨手畫了個圓,然後在旁邊標記了S,並寫下了一行表達式。

“……對於緊緻無邊的曲面S,其Gauss曲率K可以在整個曲面上進行積分。”

一邊寫着,陳陽一邊繼續說道。

“衆所周知的是,一個曲面不一定只容有一個度量,所以我嘗試對S的度量進行了更換。在更換了度量之後,相應的Gauss曲率K同樣也會發生改變,但積分值卻與曲面的度量無關,而只與曲面的Euler示性數X(S)有關,利用這一性質,我們可以——”

看着白板上的算式,陸舟眉毛輕輕擡了下,饒有興趣地說道。

“Gauss-Bonnet公式?”

手中的筆停住,陳陽點了下頭說道。

“正是。”

說罷,他將Gauss-Bonnet公式寫了上去。

看到這畫龍點睛的一筆,陸舟的臉上感興趣的神色愈發濃烈了。

事實上,他大概已經猜到,陳陽是打算幹什麼了。

根據高維黎曼流形M的性質,Gauss曲率可以推廣爲截面曲率,它的值可以由黎曼曲率的張量決定。至於其被積函數,則是由曲率張量組成的很複雜的代數式——即Gauss-Bonnet被積函數。

至於其在整個流形上的積分,則是由這個流形的Euler示性數X(M)所決定。

利用這些性質,便能夠將Hodge理論推廣到完備非緊流形中。

這些深刻的數學意義,是由陳省身教授得到的,也就是著名的Gauss–Bonnet–陳公式中的數學內涵。

再結合阿提亞爵士的L2上同調方法,沿着這條思路繼續走下去,搞不好還真能把這個猜想給證出來。

當然,具體該如何證明,還需要深入研究一下就是了。

想到這裡,陸舟讚許地點頭。

秒啊。

實在是妙。

不知何時,陳陽的背後已經站了一圈人。

早在他剛剛開始板書的時候,辦公室裡的人便注意到了這邊。

盯着白板上的算式,季默兩眼發光,激動的小聲說道:“這,難道就是傳說中的——”

見自己師弟說話又只說了一半,何昌文皺了下眉頭,低聲道:“到底是啥,別賣關子。”

季默奇怪地看了他一眼。

“霍奇猜想啊!很明顯嘛。”

何昌文:“……”

這特麼哪裡明顯了?!

不過仔細一看,好像確實是這樣。

想到這裡,何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

嗯,如果認真看的話,他應該也是能看出來的。

白板上的筆停下了,陳陽陷入了沉思。

顯然,這條思路他只走到了一半,後面該怎麼走還沒有很好的想法。

不知何時來的辦公室,站在旁邊一直沉默不語的佩雷爾曼教授,忽然開口說道。

“這條思路看起來有點意思。”

回頭看向了佩雷爾曼教授,陳陽微微愣了下,有些意外地說道。

“您是什麼時候過來的?”

“大概在你寫到一半的時候……本來我是來找陸教授的,沒想到在這裡還有意外收穫,”停頓了一下,佩雷爾曼繼續說,“……可以給我用下筆嗎?”

沒有任何的猶豫,陳陽果斷將手中的記號筆讓了出來。

從陳教授的手中接過了筆,站在白板前的佩雷爾曼沉思了片刻,隨後在他的算式下面空了幾行,繼續寫了起來。

“既然有現成的代數幾何統一理論可以運用,式(3)的證明我就省略了。”

“……我的建議是,對於之後部分的證明,我們可以將緊流形M問題提升到它的通用覆蓋流形上,得到完備非緊流形M。”

“根據阿提亞的定理,如果我們能在截面曲率的條件下證明除了中間的L2同調羣其餘都爲零……”

說着,他手中的筆輕輕抖了一下,很快寫下了一行簡潔而優美的算式。

【H^n(M)6≠{0},且當q≠n時,H^q(M)={0}】

看到這行算式的瞬間,陳陽的瞳孔微微收縮。

臉上的表情瞬間浮現了一絲明悟,他壓抑着激動的語氣說道。

“……我們就能得到霍奇猜想的證明!”

那麼問題來了。

該如何證明,在截面曲率的條件下,除了中間的L2同調羣其餘都爲零?

對話到這裡忽然戛然而止了。

短暫的興奮之後,兩人不約而同地陷入了沉默。

最後,又不約而同地看向了陸舟。

注意到兩人看向自己,從頭到尾一句話都沒說的陸舟忽然眨了眨眼,笑着說道。

“我覺得你們的想法都不錯……雖然我沒仔細研究過這個課題,但直覺告訴我照着這條路走下去,八成是能夠有所收穫的。”

頓了頓,他繼續說道。

“這個思路非常有意思,我的建議是,你們不如一起研究這個課題好了。”

總感覺陸舟似乎看出來了些什麼,卻又沒有把話說明白。

佩雷爾曼皺了下眉頭,遲疑問道。

“你不參與嗎?這可是個很有意思的難題。”

何止是有意思。

霍奇猜想可以說是現代數學發展中抽象特徵的集中體現,研究的是數學三大分支——分析、拓撲、代數幾何之間的內在聯繫。

至於難度,作爲千禧難題的它,自然是毋庸置疑的。

令佩雷爾曼詫異的是,陸舟居然沒有表現出很強烈的興趣。

陸舟:“……雖然我很感興趣,但IMCRC那邊還有一堆事情等着我去處理,恐怕最近我都沒有更多的時間,能夠分配到數學這邊了。”

聽到這個消息,佩雷爾曼臉上露出了遺憾的表情。

“那實在是太遺憾了。”

“雖然我恐怕抽不出時間幫忙,但我鄭重的向你推薦陳教授,”拍了拍陳陽的肩膀,陸舟笑着說道,“他是一位優秀的學者,關於他的能力,相信你也是瞭解的,我就不多吹牛了。總之,你們合作的話,我相信一定能夠解決這個問題。”

雖然對這種絕對的說法表示懷疑,但看了一眼陳教授,佩雷爾曼也沒有說什麼,只是點了下頭,看樣子是認可了這位合作伙伴。

兩人都是那種話不多的類型,也沒有太多的交流。

陸舟清了清嗓子之後,看着佩雷爾曼繼續說道。

“說起來,你繼續留在這邊沒問題嗎?代數與幾何的統一理論已經完成了。”

“沒有問題,”佩雷爾曼搖了搖頭,“我和母親已經打過電話了,她讓我去做自己想做的事情,不用太在意她那邊。我確實還有想做的事情沒有完成,我打算在這裡……再待一段時間,把霍奇猜想解決了再回去。”

雖然很意外佩雷爾曼教授居然會選擇留下來,但這種好事陸舟自然是不會拒絕,當即笑着說道。

“那你還是住在原來那個公寓吧,我會幫你申請延長公寓的使用時間。”

佩雷爾曼點了點頭,感謝道。

“麻煩你了。”

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